在数论中,裴蜀等式(Bézout's identity)裴蜀定理 是一个关于最大公因数的定理:

对于正整数 a, b,存在s,t∈Z 使 sa + t b = gcd (a,b) 成立。

根据互质的定义证明以下命题:

​ 正整数a,b∈Z+Z^+互质当且仅当存在整数s,t∈$Z $满足 sa+tb=1。

证明:

​ 1. 已知整数 aabb 互质,那么gcd(a,b)=1gcd{(a,b)}=1,所以存在整数s,ts,t 使得 1=sa+tb1 = sa+tb
​ 2. 假设存在一个整数 dd 是正整数 aa 和正整数 bb 的公共因子,则$ d\mid a$且 dbd\mid b
​ 3. 因为 dd 是 $a $的因数,且 ss 是整数,所以 dd 也一定是 sasa 的因数,也就是说 dsa,dsad\mid sa,d∣sa
​ 4. 因为 ddbb 的因数,且 tt 是整数,所以 dd 也一定是 tbtb 的因数,也就是说 dtb,dtbd\mid tb,d∣tb
​ 5. 存在整数 m,nm,n 使得我们可以将 sasa 表示为 mdmd,将 tbtb 表示为 ndnd;所以,我们可以得 sa+tb=md+nd=(m+n)dsa+tb = md+nd = (m+n)d;由此我们可以知道 d(sa+tb)d\mid (sa+tb)
​ 6. 因为我们已知 sa+tb=1sa+tb = 1,所以 d1d \mid 1。由此,我们只能是 d=1d = 1d=1d = -1。所以 aabb的公共正整数因子只有 1,所以 a,bZ+a,b\in \mathbb{Z^+} 互质;
​ 7. 综上可得“正整数 a,bZ+a,b\in \mathbb{Z^+}