[题]：
设 $-\pi < x < \pi$ ,则 $\underbrace{sinsinsinsinsin}_{n个}x$ 是否存在？若存在，证明并求之；若不存在，说明理由。

[解]：
令 $M_1 = sinx, M_2 = sin(sinx) \cdots M_n=sin(M_{n-1})$,

证单调性。$M_n$ 为奇函数，则考虑 $x \in [0,\pi)$ 。因为 $M_1 \in (-1,1)$，且 $sinx$ 单调递减，所以 $0< M_2 < M_1 < 1$ 。

则明显有 $0 < M_n < M_{n-1} \cdots M_2 < M_1 < 1$

即，$M_n$ 单调递减。

证有界。$sinx$ 天生有界，知 $0 < M_n < 1$。

故 $\underset{n \to \infty}{lim}{M_n}$ 存在。设 $\underset{n \to \infty}{lim}{M_n} = A$，令 $n \to \infty$, 由 $M_n=sin(M_{n-1})$ ，得 $A = sinA$ , 解得 $A = 0$。

同理，当 $x \in (-\pi,0]$ 时，$A = 0$ 。则极限为 0 。