在数论中，裴蜀等式（Bézout's identity） 或 裴蜀定理 是一个关于最大公因数的定理：

对于正整数 a, b，存在s,t∈Z 使 sa + t b = gcd (a,b) 成立。

根据互质的定义证明以下命题:

​ 正整数a,b∈$Z^+$互质当且仅当存在整数s,t∈$Z $满足 sa+tb=1。

证明：

​ 1. 已知整数 $a$ 和 $b$ 互质，那么$gcd{(a,b)}=1$，所以存在整数$s,t$ 使得 $1 = sa+tb$；
​ 2. 假设存在一个整数 dd 是正整数 aa 和正整数 bb 的公共因子，则$ d\mid a$且 $d\mid b$；
​ 3. 因为 $d$ 是 $a $的因数，且 $s$ 是整数，所以 $d$ 也一定是 $sa$ 的因数，也就是说 $d\mid sa,d∣sa$；
​ 4. 因为 $d$ 是 $b$ 的因数,且 $t$ 是整数,所以 $d$ 也一定是 $tb$ 的因数，也就是说 $d\mid tb,d∣tb$；
​ 5. 存在整数 $m,n$ 使得我们可以将 $sa$ 表示为 $md$，将 $tb$ 表示为 $nd$；所以，我们可以得 $sa+tb = md+nd = (m+n)d$；由此我们可以知道 $d\mid (sa+tb)$；
​ 6. 因为我们已知 $sa+tb = 1$,所以 $d \mid 1$。由此，我们只能是 $d = 1$ 或 $d = -1$。所以 $a$ 和 $b$的公共正整数因子只有 1，所以 $a,b\in \mathbb{Z^+}$ 互质；
​ 7. 综上可得“正整数 $a,b\in \mathbb{Z^+}$。